Question

11．对于数列{a_n}，定义T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，n∈N^*．
（1）若a_n=n，是否存在k∈N^*，使得T_k=2017？请说明理由；
（2）若a₁=3，${T_n}={6^n}-1$，求数列{a_n}的通项公式；
（3）令${b_n}=\left\{\begin{array}{l}{T_2}-2{T_1}，\begin{array}{l}{\;}{\;}{n=1}\end{array}\\{T_{n+1}}+{T_{n-1}}-2{T_n}\begin{array}{l}{\;}，{n≥2，n∈{N^*}}\end{array}\end{array}\right.$，求证：“{a_n}为等差数列”的充要条件是“{a_n}的前4项为等差数列，且{b_n}为等差数列”．

Answer 1

分析 （1）由a_n=n＞0，可知数列{T_n}为递增数列，分别计算T₁₇，T₁₈，即可得出．
（2）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（3）由题意b₁=T₂-2T₁=a₂a₃-a₁a₂，当n≥2，n∈N^*时，b_n=T_n+1+T_n-1-2T_n=a_n+1a_n+2-a_na_n+1，可得：对任意n∈N^*，都有b_n=a_n+1a_n+2-a_na_n+1．  利用等差数列的定义通项公式分别证明：必要性与充分性即可得出．

解答 （1）解：由a_n=n＞0，可知数列{T_n}为递增数列，…（2分）
计算得T₁₇=1938＜2017，T₁₈=2280＞2017，
所以不存在k∈N^*，使得T_k=2017；         …（4分）
（2）解：由${T_n}={6^n}-1$，可以得到当n≥2，n∈N^*时，${a_n}{a_{n+1}}={T_n}-{T_{n-1}}=（{6^n}-1）-（{6^{n-1}}-1）=5•{6^{n-1}}$，…（6分）
又因为a₁a₂=T₁=5，
所以${a_n}{a_{n+1}}=5•{6^{n-1}}，n∈{N^*}$，进而得到${a_{n+1}}{a_{n+2}}=5•{6^n}，n∈{N^*}$，
两式相除得$\frac{{{a_{n+2}}}}{a_n}=6，n∈{N^*}$，
所以数列{a_2k-1}，{a_2k}均为公比为6的等比数列，…（8分）
由a₁=3，得${a_2}=\frac{5}{3}$，
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3•{6}^{\frac{n-1}{2}}，n=2k-1}\\{\frac{5}{3}•{6}^{\frac{n-2}{2}}，n=2k}\end{array}\right.$，k∈N^*．…（10分）
（3）证明：由题意b₁=T₂-2T₁=a₂a₃-a₁a₂，
当n≥2，n∈N^*时，b_n=T_n+1+T_n-1-2T_n=a_n+1a_n+2-a_na_n+1，
因此，对任意n∈N^*，都有b_n=a_n+1a_n+2-a_na_n+1．   …（12分）
必要性（⇒）：若{a_n}为等差数列，不妨设a_n=bn+c，其中b，c为常数，
显然a₂-a₁=a₃-a₂=a₄-a₃，
由于b_n=a_n+1a_n+2-a_na_n+1=${a_{n+1}}（{a_{n+2}}-{a_n}）=2{b^2}n+2{b^2}+2bc$，
所以对于n∈N^*，${b_{n+1}}-{b_n}=2{b^2}$为常数，
故{b_n}为等差数列；  …（14分）
充分性（?）：由于{a_n}的前4项为等差数列，不妨设公差为d
当n≤k+3（k=1）时，有a₄=a₁+3d，a₃=a₁+2d，a₂=a₁+d成立．…（15分）
假设n≤k+3（k＞1，k∈N^*）时{a_n}为等差数列，
即a_k+3=a_k+3d，a_k+2=a_k+2d，a_k+1=a_k+d…（16分）
当n=k+4（k＞1，k∈N^*）时，由{b_n}为等差数列，得b_k+2+b_k=2b_k+1，
即：（a_k+3a_k+4-a_k+2a_k+3）+（a_k+1a_k+2-a_ka_k+1）=2（a_k+2a_k+3-a_k+1a_k+2），
所以${a_{k+4}}=\frac{{3{a_{k+2}}{a_{k+3}}-3{a_{k+1}}{a_{k+2}}+{a_k}{a_{k+1}}}}{{{a_{k+3}}}}$…（17分）
=$\frac{{3（{a_k}+2d）（{a_k}+3d）-3（{a_k}+d）（{a_k}+2d）+{a_k}（{a_k}+d）}}{{{a_k}+3d}}$=$\frac{{{a_k}^2+7{a_k}d+12{d^2}}}{{{a_k}+3d}}={a_k}+4d$，
因此a_k+4-a_k+3=d，
综上所述：数列{a_n}为等差数列．                …（18分）

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．