Question

18．已知半径为$\sqrt{5}$，圆心在直线l₁：x-y+1=0上的圆C与直线l₂：$\sqrt{3}$x-y+1-$\sqrt{3}$=0相交于M，N两点，且|MN|=$\sqrt{17}$
（1）求圆C的标准方程；
（2）当圆心C的横、纵坐标均为整数时，若对任意m∈R，直线l₃：mx-y+$\sqrt{a}$+1=0与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，设C（a，a+1），圆心到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{3}a-a-\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{5-\frac{17}{4}}$，求出a，可得圆C的标准方程；
（2）圆C的标准方程为x²+（y-1）²=5，对任意m∈R，直线l₃：mx-y+$\sqrt{a}$+1=0与圆C恒有公共点，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\sqrt{5}$，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意，设C（a，a+1），圆心到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{3}a-a-\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{5-\frac{17}{4}}$，
∴a=0或3+$\sqrt{3}$，
∴圆C的标准方程为x²+（y-1）²=5或（x-3-$\sqrt{3}$）²+（y-4-$\sqrt{3}$）²=5；
（2）圆C的标准方程为x²+（y-1）²=5，对任意m∈R，
直线l₃：mx-y+$\sqrt{a}$+1=0与圆C恒有公共点，
∴$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$≤$\sqrt{5}$，
∴0≤a≤5（m²+1），∴0≤a≤5．

点评 本题考查直线圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．