Question

如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别为A₁，A₂，B₁，B₂，焦点分别为F₁，F₂，延长B₁F₂与A₂B₂交于P点，若∠B₁PB₂为锐角，则此椭圆离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则

B2A2

=（a，-b）、

F2B1

=（-c，-b），由∠B₁PB₂为锐角可得-ac+b²＜0，把b²=a²-c²代入不等式，从而可求椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则

B2A2

=（a，-b）、

F2B1

=（-c，-b），
由∠B₁PB₂为锐角知道

B2A2

与

F2B1

的数量积小于0，所以有：-ac+b²＜0，
把b²=a²-c²代入不等式得：a²-ac-c²＜0，除以a²得1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0，解得e＜

-1- 5

2

或e＞

5 -1

2

，
又0＜e＜1，所以

5 -1

2

＜e＜1，
故答案为：

5 -1

2

＜e＜1．

点评：本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是利用

B2A2

与

F2B1

的数量积小于0，建立不等式，属于中档题．