Question

12．在直角坐标系xOy中，以M（-1，0）为圆心的圆与直线$x-\sqrt{3}y-3=0$相切．
（1）求圆M的方程；
（2）过点（0，3）的直线l被圆M截得的弦长为$2\sqrt{3}$，求直线l的方程．
（3）已知A（-2，0），B（2，0），圆M内的动点P满足|PA|•|PB|=|PO|²，求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线与圆相切，得到圆心到切线的距离d等于半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心M到已知直线的距离d，即为圆M的半径，写出圆M方程即可；
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求直线l的方程；
（3）设P（x，y），利用两点间的距离公式化简已知的等式，整理后得到x与y的关系式，再表示出两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，将表示出的关系式代入得到关于y的式子，由P在圆M内部，得到P与圆心M的距离小于半径列出不等式，即可求出所求式子的范围．

解答 解：（1）依题意，圆M的半径r等于圆心M（-1，0）到直线$x-\sqrt{3}y-3=0$的距离，
即$r=\frac{{|{-1-3}|}}{{\sqrt{1+3}}}=2$，∴圆M的方程为（x+1）²+y²=4．
（2）当斜率存在时，设直线方程l：y=kx+3，则圆心到直线的距离$\frac{{|{k-3}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，
∴$k=\frac{4}{3}$，直线方程l：4x-3y+9=0
当直线斜率不存在时，则l：x=0，经检验满足条件
综上，直线方程l：4x-3y+9=0或x=0；
（3）设P（x，y），由|PA||PB|=|PO|²，
得$\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}•\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}={x^2}+{y^2}$，即x²-y²=2．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{-2-x，-y}）•（{2-x，-y}）={x^2}-4+{y^2}=2（{{y^2}-1}）$．
∵点P在圆M内，∴（x+1）²+y²＜4，∴0≤y²＜4，∴-1≤y²-1＜3．
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范围为[-2，6）．

点评 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两点间的距离公式，以及点与圆、直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．