Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝4a_n－3(n∈N^*)．

(1)证明：数列{a_n}是等比数列；

(2)若数列{b_n}满足b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，且b₁＝2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：(1)证明：依题意S_n＝4a_n－3(n∈N^*)，

n＝1时，a₁＝4a₁－3，解得a₁＝1.

因为S_n＝4a_n－3，则S_n－1＝4a_n－1－3(n≥2)，

所以当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝4a_n－4a_n－1，

整理得a_n＝a_n－1.

又a₁＝1≠0，所以{a_n}是首项为1，

公比为的等比数列．

(2)因为a_n＝^n－1，

由b_n＋1＝a_n＋b_n(n∈N^*)，

得b_n＋1－b_n＝^n－1.

可得b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋

(b_n－b_n－1)

＝2＋＝3·^n－1－1(n≥2)，

当n＝1时也满足，

所以数列{b_n}的通项公式为b_n＝3·^n－1－1.