Question

8．设函数f（x）=（x²-2x）lnx+（a-$\frac{1}{2}$）x²+2（1-a）x+a．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当a≥0时，f（x）＞0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，0＜x＜1时，显然成立，x≥1时，得到x（x-2）lnx＞0，（0＜x＜1），设h（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+2（1-a）x+a，根据函数的单调性证明即可．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=2（x-1）（lnx+a），（x＞0），
①a=0时，f′（x）=2（x-1）lnx，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，x＞1时，f′（x）＞0，
x=1时，f′（x）=0，故f（x）在（0，+∞）递增；
②a＞0时，令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=e^-a，此时e^-a＜1，
易知f（x）在（0，e^-a）递增，（e^-a，1）递减，在（1，+∞）递增；
③a＜0时，e^-a＞0，易知f（x）在（0，1）递增，（1，e^-a）递减，（e^-a，+∞）递增；
（Ⅱ）证明：a=0时，f（x）=（x²-2x）lnx-$\frac{1}{2}$x²+2x，
①若0＜x＜1时，f（x）＞0，
②x≥1时，由（Ⅰ）可知f（x）在[1，+∞）递增，则有f（x）≥f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，
故a=0时，对所有的x∈（0，+∞），f（x）＞0，
a＞0时，由（Ⅰ）得f（x）在（0，e^-a）递增，（e^-a，1）递减，（1，+∞）递增，
且f（1）=$\frac{3}{2}$＞0，故函数在（e^-a，+∞）上f（x）＞0，
下面考虑x∈（0，e^-a）时，此时0＜x＜1，
f（x）=x（x-2）lnx+（a-$\frac{1}{2}$）x²+2（1-a）x+a，
其中，x（x-2）lnx＞0，（0＜x＜1），
设h（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²+2（1-a）x+a，
则h′（x）=（2a-1）（x-1）+1，
若0＜a≤1，则0≤2a≤2，-1≤2a-1≤1，而-1＜x-1＜0，
故-1＜（2a-1）（x-1）＜1，
故（2a-1）（x-1）+1＞0，即h′（x）＞0，
此时h（x）在（0，1）递增，故h（x）＞h（0）=a＞0，
若a＞1，则h（x）=（a-1）（x-1）²+$\frac{1}{2}$x²+1＞0，
综上，二次函数h（x）＞0，（0＜x＜1），
故x∈（0，e^-a）?（0，1）时，总有f（x）＞0，
综上，当a≥0时，f（x）＞0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的证明，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．