Question

设集合A={1，2，3，…，10}，求集合A的所有非空子集元素和的和．

Answer 1

考点：子集与真子集

专题：集合

分析：由10个元素组成的集合A的非空子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，欲求集合A的所有非空子集的元素和的和，先计算出包含元素1的集合：剩下的9个元素组成的集合含有2⁹个子集，同理，在集合A的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出现了2⁹次，从而得出集合A的所有非空子集元素和的和．

解答： 解：由10个元素组成的集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{4}…{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，…共2¹⁰个．
先计算出包含元素1的集合：剩下的9个元素组成的集合含有2⁹个子集，
在集合M的所有非空子集中，元素1出现了2⁹次
同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出现了2⁹次
故集合M的所有非空子集元素和的和为：
（1+2+3+4+…+10）×2⁹=55×2⁹．

点评：本题考查集合的子集个数问题，子集与真子集、数列求和等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2ⁿ个，属于中档题．