Question

已知（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ的展开式前三项中的x的系数成等差数列．
（1）展开式中所有的x的有理项为第几项？
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：综合题,二项式定理

分析：（1）根据展开式前三项中的x的系数成等差数列，可得2•

n

2

=1+

n(n-1)

8

，求出n，写出展开式的通项公式，根据x的指数为整数，即可得出结论；
（2）设第r+1项为系数最大的项，则由

tr+1

tr

≥1且

tr+2

tr+1

≤1，可得

9-r 2r ≥1 2(r+1) 8-r ≤1

，求出r，即可求展开式中系数最大的项．

解答： 解：（1）因为展开式前三项中的x的系数成等差数列，
所以2•

n

2

=1+

n(n-1)

8

，
所以n=8或n=1（舍去），
n=8时，展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 8

•2-r•x4-

3

4

r，
由题意，4-

3

4

r必为整数，从而可知r必为4的倍数，
∴r=0，4，8，
∴展开式中所有的x的有理项为第1，5，9项；
（2）设第r+1项为系数最大的项，则由

tr+1

tr

≥1且

tr+2

tr+1

≤1，可得

9-r 2r ≥1 2(r+1) 8-r ≤1

，
∴2≤r≤3，
∴r=2或r=3，
∴系数最大的项为7x

5

2

和7x

7

4

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．