Question

8．己知圆C过椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的右焦点，且圆心在x的正半轴上，且直线l：y=x-1被圆C截得的弦长为2$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的标准方程；
（2）从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的右焦点，设圆的方程为（x-a）²+y²=r²，a＞0，代入（1，0），运用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，计算求得a=3，r=2，即可得到圆的标准方程；
（2）求出圆心C，半径r．设P（x，y）．由切线的性质可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得x=$\frac{5}{6}$，即P在直线x=$\frac{5}{6}$上，再利用垂直时线段最短，即可得到所求点．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1的右焦点为（1，0），
设圆的方程为（x-a）²+y²=r²，a＞0，
由题意可得（1-a）²=r²，a＞0，
又2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|a-1|}{\sqrt{2}}）^{2}}$，
解得a=3，r=2，
可得圆的方程为（x-3）²+y²=4；
（2）如图所示（x-3）²+y²=4的圆心C（3，0），半径r=2．
设P（x，y），
∵CM⊥PM，
∴|PM|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}-4}$．
∵|PM|=|PO|，
∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}-4}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化为x=$\frac{5}{6}$，即P在直线x=$\frac{5}{6}$上，
∴|PM|²=x²+y²=$\frac{25}{36}$+y²
当y=0时，|PM|²取得最小值$\frac{25}{36}$，
即|PM|取得最小值$\frac{5}{6}$，此时P（$\frac{5}{6}$，0）．

点评 本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，以及圆的弦长公式的运用，考查圆的切线的性质和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．