Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 直线l经过F2且交椭圆C于A，B两点（如图），△ABF1的周长为4 ，原点O到直线l的最大距离为1．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F2作弦AB的垂线交椭圆C于M，N两点，求四边形AMBN面积最小时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知， ，c=1，

∴ ，

又∵a2=b2+c2，∴b=1，

∴椭圆C的标准方程为 ；

（2）解：当直线AB的斜率不存在时，

有 ， ，∴ ；

当直线AB的斜率为0时， ，∴ ；

当直线AB的斜率存在且不为0时，

设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线MN的方程为 ，

联立 得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，

∴|AB|= = = ．

同理|MN|= ，

∴ |AB||MN|= ，

令t=k2+1（t≥1）， ，

当 ．即k2+1=2，即k=±1时， ．

此时设直线AB的方程为y=±（x﹣1）

【解析】（1）由题意可得a，c的值，由隐含条件求得b的值，则椭圆方程可求；（2）分类求出直线AB的斜率不存在、斜率为0时的四边形AMBN面积，在设出斜率存在且不为0时的直线方程，联立直线方程和椭圆方程利用弦长公式求得|AB|、|MN|的长度，代入四边形面积公式，换元后利用配方法求得最值，同时得到边形AMBN面积最小时直线l的方程．