Question

若函数f（x）=

lnx

x

的图象为曲线C，函数g（x）=

1

2

ax+b的图象为直线l．
（1）求y=f（x）在x=e处的切线方程；
（2）当a=2，b=-3时，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（3）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，求证：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，即可得到切线方程；
（2）写出F（x）的表达式，求出导数，令F′（x）=0，即有x²+lnx-1=0，易得h（x）=x²+lnx-1在x＞0上是增函数，求得h（1）=0，求得F（x）的极大值，也为最大值；
（3）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，列出两方程，相减得到lnx₁-lnx₂=
（x₁-x₂）（

1

2

a（x₁+x₂）+b），即ln

x1

x2

=(x1-x2)g(x1+x2)，可令x=

x1

x2

，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．即证ln

x1

x2

•

x1+x2

x1-x2

＞2．构造函数h（x）=

x+1

x-1

lnx，即证h（x）＞2，讨论x＞1，0＜x＜1即可得证．

解答： （1）解：f（x）=

lnx

x

（x＞0）的导数f′（x）=

1-lnx

x2

，
则切线的斜率k=

1-lne

e2

=0，切点为（e，

1

e

）．
故y=f（x）在x=e处的切线方程为：y-

1

e

=0即y=

1

e

；
（2）解：当a=2，b=-3时，F（x）=f（x）-g（x）=

lnx

x

-（x-3）（x＞0）
则F′（x）=

1-lnx

x2

-1，令F′（x）=0，即有x²+lnx-1=0，
易得h（x）=x²+lnx-1在x＞0上是增函数，
且h（1）=0，故h（x）=0，解得x=1．
当x＞1时，F′（x）＜0，0＜x＜1时，F′（x）＞0，则x=1为极大值点，也为最大值点，
故F（x）_max=F（1）=0-（1-3）=2；
（3）证明：设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，
则

lnx1

x1

=

1

2

ax₁+b，

lnx2

x2

=

1

2

ax₂+b，即有lnx₁=

1

2

ax₁²+bx₁，lnx₂=

1

2

ax₂²+bx₂．
则lnx₁-lnx₂=（x₁-x₂）（

1

2

a（x₁+x₂）+b），即ln

x1

x2

=(x1-x2)g(x1+x2)，
可令x=

x1

x2

，要证（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．即证ln

x1

x2

•

x1+x2

x1-x2

＞2．
构造函数h（x）=

x+1

x-1

lnx，即证h（x）＞2，当x＞1时，即证lnx-

2(x-1)

x+1

＞0，
令m（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

由于m′（x）=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0，
即m（x）在x＞1递增，即有m（x）＞m（1）=0；
同理0＜x＜1，可证lnx-

2(x-1)

x+1

＜0，
故（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2成立．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、求极值和最值，考查构造函数，运用导数求单调区间，并运用单调性证明不等式，本题属于难题．