Question

18．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤16}\end{array}\right.$，则z=x²+6x+y²+8y+25的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{121}{2}$，81]
• B． [$\frac{121}{2}$，73]
• C． [65，73]
• D． [65，81]

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由z=x²+6x+y²+8y+25=（x+3）²+（y+4）²的几何意义，即可行域内的动点（x，y）与定点P（-3，-4）距离的平方求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤16}\end{array}\right.$作出可行域如图，

z=x²+6x+y²+8y+25=（x+3）²+（y+4）²，
其几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点P（-3，-4）距离的平方，
由P（-3，-4）到直线x+y=4的距离d=$\frac{|-3-4-4|}{\sqrt{2}}=\frac{11}{\sqrt{2}}$，|OP|=5，
∴P到可行域内点距离的最小值为$\frac{11}{\sqrt{2}}$，最大值为9，
则z的取值范围为[$\frac{121}{2}，81$]．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．