Question

如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，BC=a（a为定值），∠ABC=θ，△ABC的面积为S₁，正方形PQRS的面积为S₂，当

S1

S2

取得最小值时，角θ的值为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  5π

  12

Answer 1

考点：三角形中的几何计算,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,解三角形

分析：据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S₁；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；由比值

S1

S2

，可设t=sin2θ来化简求出S₁与S₂的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ．

解答： 解：在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
S1=

1

2

AB•AC=

1

2

a²sinθcosθ．
设正方形的边长为x则 BP=

x

sinθ

，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得

x

sinθ

+xcosθ=acosθ，故 x=

asinθcosθ

1+sinθcosθ

∴S₂=x²=（

asinθcosθ

1+sinθcosθ

）²

S1

S2

=

1

2

•

(1+sinθcosθ)2

sinθcosθ

=

(1+ 1 2 sin2θ)2

sin2θ

=

1

sin2θ

+

1

4

sin2θ+1，
令t=sin2θ，因为 0＜θ＜

π

2

，
∴0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]．
∴

S1

S2

=

1

t

+

1

4

t+1=g（t），g′（t）=-

1

t2

+

1

4

＜0，
∴函数g（t）在（0，1]上递减，
因此当t=1时g（t）有最小值 g（t）_min=g（1）=

9

4

，
此时 sin2θ=1，θ=

π

4

∴当 θ=

π

4

时，

S1

S2

最小，最小值为

9

4

．
故选：B．

点评：考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．