Question

已知函数f（x）=ax³+x²-x+1，（a＞0）．
（I）f（x）在（2，+∞）上是否存在单调递增区间，证明你的结论．
（II）若f（x）在上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（I）f′（x）=3ax²+2x-1
f（x）在（2，+∞）上是否存在单调递增区间，即f′（x）在（2，+∞）上存在子区间使f′（x）＞0
∵a＞0，f′（x）=3ax²+2x-1是开口向上的抛物线
∴f′（x）在（2，+∞）上存在子区间使f′（x）＞0
∴f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间；
（II）令f′（x）=3ax²+2x-1=0，∴，
∵a＞0，∴f（x）在x₁处取极大值，在x₂处取极小值，
∴f（x）在（-∞，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增
∵f（x）在上单调递增，∴
∴
∴
∴a²-a≥0
∵a＞0，∴a≥1
∴实数a的取值范围是a≥1
分析：（I）先求导函数f′（x）=3ax²+2x-1，要使f（x）在（2，+∞）上是否存在单调递增区间，即需要f′（x）在（2，+∞）上存在子区间使f′（x）＞0，根据a＞0，f′（x）=3ax²+2x-1是开口向上的抛物线，可证结论；
（II）令f′（x）=3ax²+2x-1=0，求得，，可知f（x）在（-∞，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，根据f（x）在上单调递增，可得
，从而可求实数a的取值范围．
点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查导数的运用，确定函数的单调性，建立不等式是解题的关键．