Question

已知函数f（x）=x²+2x．
（1）求函数f（x+1）的表达式．
（2）求函数f（x+1）的值域．
（3）求函数f（x）=x²+2x在区间[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把函数f（x）解析式中的x换成x+1，可得f（x+1）的解析式．
（2）根据f（x+1）=（x+2）²-1，利用二次函数的性质求得f（x+1）的值域．
（3）利用二次函数的性质求得函数f（x）=x²+2x=（x+1）²-1在区间[-2，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+2x，∴f（x+1）=（x+1）²+2（x+1）=x²+4a+3=（x+2）²-1，
（2）根据f（x+1）=（x+2）²-1，可得当x=-2时，函数取得最小值为-1，而函数没有最大值，故f（x+1）的值域为[-1，+∞）．
（3）函数f（x）=x²+2x=（x+1）²-1 在区间[-2，2]上，当x=2时，函数取得最大值为8，当x=-1时，函数取得最小值为-1．

点评：本题主要考查二次函数的性质，用换元法法求函数的解析式，属于基础题．