Question

已知函数f（x）=

a

x

+lnx-1．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若a＞0，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（3）若0＜a＜e，g（x）=-

2e

x

-lnx．?x₁∈（0，e]，x₂∈（0，e]，使g（x₁）=f（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数的运算法则得到f′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；
（2）利用（1）通过对a分类讨论即可得出其最小值．
（3）利用导数分别得到函数g（x）的最大值及f（x）的最小值，必须满足g（x）_max≥f（x）_min，解出即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

a

x

+lnx-1，（x＞0），∴f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，当x＞a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
（2）①若a≥e，由（1）可知：函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，因此当x=e时，函数f（x）取得最小值f（e）=

a

e

．
②若0＜a＜e，由（1）可知：函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，e）上单调递增，因此当x=a时，函数f（x）取得极小值，即最小值f（a）=lna．
（3）∵当0＜x≤e时，∴g′(x)=

2e

x2

-

1

x

=

2e-x

x2

＞0，∴g（x）在区间（0，e]上单调递增，∴g（x）≤g（e）=-3．
由（2）可知：对于函数f（x），当0＜x≤e，0＜a＜e时，函数f（x）取得最小值f（a）=lna．
因此要使?x₁∈（0，e]，x₂∈（0，e]，使g（x₁）=f（x₂），则必须g（x）_max≥f（x）_min，即-3≥lna，
解得0＜a＜

1

e3

，
∴a的取值范围是(0，

1

e3

)．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值及其最值是解题的关键．