Question

7．已知函数$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$．
（1）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间．
（2）若△ABC的三角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且满足（a-c）（a+c）=b（b-c），试求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和诱导公式以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据（a-c）（a+c）=b（b-c），求出C的值，利用三角函数的有界限即可求f（B）的取值范围．

解答 解 函数$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$．
化简可得：f（x）=2sin²x+$\sqrt{3}$cosxsinx+cos²x=1-cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+\frac{3}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
（1）∴函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[：$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
∴f（B）=sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
由（a-c）（a+c）=b（b-c），即a²-c²=b²-bc．
由余弦定理，可得：cosA=$\frac{1}{2}$，
0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．
那么：$0＜B＜\frac{2π}{3}$．
2B-$\frac{π}{6}$∈（$-\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$-\frac{1}{2}$，1]．
∴f（B）的取值范围是（1，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．