Question

17．若函数f（x）=log_a（8-ax）满足：对任意x₁，x₂∈（0，2]（x₁≠x₂），都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，4）
• C． （1，4]
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 根据导数的定义及导数与函数单调性的关系，可知先将函数f（x）在（0，2]单调递减，f（x）=log_a（8-ax）转化为y=log_at，t=8-ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．

解答 解：由（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，即（x₁-x₂）和[f（x₁）-f（x₂）]异号，则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴函数f′（x）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则f（x）在（0，2]单调递减，
当0＜a＜1时，则函y=log_at，在（0，2]是减函数，
由题设知t=8-ax为增函数，则需a＜0，故此时无解；
若a＞1，则y=log_at，在（0，2]是增函数，则t为减函数，
则需a＞0且8-a×2＞0，解得1＜a＜4，
综上可得实数a 的取值范围是（1，4）．
故实数a的取值范围（1，4）．
故选：B．

点评 本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，考查计算能力，属于中档题．