Question

8．设α、β∈（0，$\frac{π}{2}$），试用柯西不等式证明 $\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β•si{n}^{2}β}$≥9．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β•si{n}^{2}β}$=$\frac{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β•si{n}^{2}β}$=$\frac{1}{si{n}^{2}α•si{n}^{2}β}+\frac{1}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β}$，又cos ²α+sin ²αsin ²β+sin ²αcos ²β=1，得到（cos ²α+sin ²αsin ²β+sin ²αcos ²β）．（$\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{si{n}^{2}α•si{n}^{2}β}+\frac{1}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β}$）≥（1+1+1）²=9即可证得结论．

解答 证明：∵$\frac{1}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β•si{n}^{2}β}$=$\frac{co{s}^{2}β+si{n}^{2}β}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β•si{n}^{2}β}$
=$\frac{1}{si{n}^{2}α•si{n}^{2}β}+\frac{1}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β}$，
又cos ²α+sin ²αsin ²β+sin ²αcos ²β=1，
∴（cos ²α+sin ²αsin ²β+sin ²αcos ²β）•
（  $\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{si{n}^{2}α•si{n}^{2}β}+\frac{1}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β}$）≥（1+1+1）²=9．
∴$\frac{1}{co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{si{n}^{2}α•co{s}^{2}β•si{n}^{2}β}$≥9．

点评 本题考查了柯西不等式的证明，考查了计算能力及推理能力，是中档题．