Question

20．实数x、y满足3x²+4y²=12，则z=2x+$\sqrt{3}y$的最小值是（　　）

• A． -5
• B． -6
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 推导出$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，从而$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.，（0≤θ＜2π）$，进而z=2x+$\sqrt{3}y$=4cosθ+3sinθ，由此能求出z=2x+$\sqrt{3}y$的最小值．

解答 解：∵实数x、y满足3x²+4y²=12，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.，（0≤θ＜2π）$，
∴z=2x+$\sqrt{3}y$=4cosθ+3sinθ=5sin（θ+α），（tanα=$\frac{4}{3}$），
∴z=2x+$\sqrt{3}y$的最小值是-5．
故选：A．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，考查椭圆的参数方程、三角函数等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．