Question

9．已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x²-mx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若存在$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f'（x）=lnx+1，推出单调区间，然后求解函数的最小值．
（Ⅱ）存在${x_0}∈[{\frac{1}{e}，e}]$使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，转化为存在${x_0}∈[{\frac{1}{e}，e}]$使得$m≤{（\frac{{2x-{x^2}}}{lnx-x}）_{max}}$成立，令$k（x）=\frac{{2x-{x^2}}}{lnx-x}$，$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，则$k'（x）=\frac{（x-1）（2lnx+x+2）}{{{{（lnx-x）}^2}}}$，通过判断导函数的符号，求出最大值，

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，
令f'（x）＞0，解得$x＞\frac{1}{e}$；令f'（x）＜0，解得$0＜x＜\frac{1}{e}$，
∴f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$递减，在$（\frac{1}{e}，+∞）$递增，
若$t≥\frac{1}{e}$，则f（x）在[t，t+2]递增，
∴f（x）_min=f（t）=tlnt+2；
若$0＜t＜\frac{1}{e}$，则f（x）在$[t，\frac{1}{e}）$递减，在$（\frac{1}{e}，t+2]$递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=2-\frac{1}{e}$．
（Ⅱ）若存在${x_0}∈[{\frac{1}{e}，e}]$使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，
即存在${x_0}∈[{\frac{1}{e}，e}]$使得$m≤{（\frac{{2x-{x^2}}}{lnx-x}）_{max}}$成立，
令$k（x）=\frac{{2x-{x^2}}}{lnx-x}$，$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，则$k'（x）=\frac{（x-1）（2lnx+x+2）}{{{{（lnx-x）}^2}}}$，
易得2lnx+x+2＞0，
令k'（x）＞0，解得x＞1；令k'（x）＜0，解得x＜1，
故k（x）在$[\frac{1}{e}，1）$递减，在（1，e]递增，
故k（x）的最大值是$k（\frac{1}{e}）$或k（e），
而$k（\frac{1}{e}）=-\frac{2e-1}{e（e+1）}＜k（e）=\frac{e（e-2）}{e-1}$，
故$m≤\frac{e（e-2）}{e-1}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．