Question

3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=$\sqrt{7}$，C=$\frac{π}{3}$，
（Ⅰ）若2sinA=3sinB，求a，b；
（Ⅱ）若cosB=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，求sin2A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和夹角公式即可求出，
（Ⅱ）根据两角和的余弦公式和诱导公式，以及同角的三角函数的关系即可求出

解答 解：（Ⅰ）2sinA=3sinB，
由正弦定理可得2a=3b，
由cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=3，b=2，
（Ⅱ）由cosB=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$得sinB=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴cosA=-cos（B+C）=-（$\frac{5\sqrt{7}}{14}×\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{21}}{14}×\frac{\sqrt{13}}{2}$）=-$\frac{1}{2\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
∴sinA=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，
∴sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×（-$\frac{\sqrt{7}}{14}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{14}$

点评 本题考查了正弦定理和夹角公式以及两角和的余弦公式和诱导公式，以及同角的三角函数的关系，属于中档题