Question

16．某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度（单位：厘米）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图（图中仅列出了高度在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y
（2）在选取的样本中，从高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中随机抽取3株，设随机变量X表示所抽取的3株高度在[80，90）内的株数，求随机变量X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图及频率分布直方图能求出样本容量n和频率分布直方图中的x，y．
（2）由题意可知，高度在[80，90）内的株数为5，高度在[90，100]内的株数为2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由题意可知，
样本容量$n=\frac{8}{0.016×10}=50，y=\frac{2}{50×10}=0.004$，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．（4分）
（2）由题意可知，高度在[80，90）内的株数为5，高度在[90，100]内的株数为2，
共7株．抽取的3株中高度在[80，90）内的株数X的可能取值为1，2，3，（5分）
则P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{7}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^2C_2^1}{C_7^3}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$，
$P（X=3）=\frac{C_5^3C_2^0}{C_7^3}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$，（8分）
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

（10分）
故E（X）=$1×\frac{1}{7}+2×\frac{4}{7}+3×\frac{2}{7}$=$\frac{15}{7}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，涉及到平均数、方差、离散型随机变量的分布列及数学期望等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．