Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量

m

=(a+b，sinA-sinC)，向量

n

=(c，sinA-sinB)，且

m

∥

n

；
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设BC中点为D，且AD=

3

；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB的值，从而求得B的值．
（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，可知θ∈(0，

2π

3

)，利用正弦定理求得BD、AB的值，可得a+2c的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c的最大值及此时△ABC的面积．

解答： 解：（Ⅰ）因为

m

∥

n

，故有（a+b）（sinA+sinB）-c（sinA-sinC）=0，
由正弦定理可得（a-b）（a+b）-c（a-c）=0，即a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可知cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，因为B∈（0，π），所以B=

π

3

．
（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，由B=

π

3

可知θ∈(0，

2π

3

)，
由正弦定理及AD=

3

有

BD

sinθ

=

AB

sin( 2π 3 -θ)

=

AD

sin π 3

=2，
所以BD=2sinθ，AB=2sin(

2π

3

-θ)=

3

cosθ+sinθ，
所以a=2BD=4sinθ，c=AB=

3

cosθ+sinθ，
从而a+2c=2

3

cosθ+6sinθ=4

3

sin(θ+

π

6

)，
由θ∈(0，

2π

3

)可知θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，所以当θ+

π

6

=

π

2

，
即θ=

π

3

时，a+2c的最大值为4

3

，
此时a=2

3

，c=

3

，所以S=

1

2

ac•sinB=

3 3

2

．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．