Question

14．已知函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinx•cosx
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足c=$\sqrt{3}$，f（C）=$\frac{3}{2}$，且sinB=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简，再根据函数的性质求最小值与用求周期的公式求周期．
（2）f（C）=$\frac{3}{2}$，求得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，由C的取值范围求得C的值，再利用余弦定理建立方程与b=2a联立求出a，b的值．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$，
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$，
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
（2）f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜C＜π，0＜2C＜π，
-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，
由正弦定理得：b=2a，
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，
∴3=a²+4a²-4a²×$\frac{1}{2}$，
∴a=1，b=2．

点评 本题考查正弦、余弦定理，三角恒等变换，利用二倍角公式和辅助角公式化简求三角函数的最小值，周期，知识性较强，解题时要注意准确利用知识变形求值，属于中档题．