Question

已知函数f（x）=aInx-ax，（a∈R）．
（1）求f（x）的单调递增区间；（文科可参考公式：(Inx)′=

1

x

）
（2）若a=-1，求证；f（x）≥f（1），且

In2

2

•

In3

3

•

In4

4

•…

In2010

2010

＜

1

2010

．

Answer 1

分析：（1）要求f（x）的单调递增区间，先求出f′（x），大于0得到增区间；小于零得到减区间即可．
（2）因为a=1时f（x）在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）即：Inx≤x-1在（1，+∞）上恒成立，所以Inn≤n-1在n≥2，n∈N^*恒成立；

Inn

n

≤

n-1

n

在n≥2，n∈N^*恒成立，则ln2＜1，ln3＜2，ln4＜3，…，ln2010＜2009，利用不等式的证明方法，约分可得证．

解答：解：（1）依题意得：f′（x）=

-a(x-1)

x

a＞0，单调递增区间（0，1）；
a＜0，单调递增区间（1，+∞）；a=0，无增区间．
（2）若a=-1，由（1）得f（x）在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）
即：Inx≤x-1在（1，+∞）上恒成立，
所以Inn≤n-1在n≥2，n∈N^*恒成立

Inn

n

≤

n-1

n

在n≥2，n∈N^*恒成立
故

In2

2

•

In3

3

•

In4

4

•

In2010

2010

＜

1

2

•

2

3

2009

2010

=

1

2010

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，灵活运用不等式的证明方法的能力．