Question

6．在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠APD=90°，PA=PD=AB=a，ABCD是矩形，E是PD的中点．
（1）求证：PB⊥AC．
（2）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）设AD中点为F，连接BF、PF，推导出△ABC∽△FAB，从而AC⊥BF，推导出PF⊥AC，由此能证明AC⊥PB．
（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO，则∠EOH为二面角E-AC-D的平面角，由此能求出二面角E-AC-D的正切值．

解答 证明：（1）设AD中点为F连接BF、PF．
∵PA=PD=AB=a，∴$AD=BC=\sqrt{2}a，AF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$．
∴△ABC∽△FAB，∴AC⊥BF，…（4分）
又∵PF⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD．
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PF⊥面ABC，∴PF⊥AC，
∴AC⊥平面PBF，AC⊥PB．…（6分）
解：（2）过E作EH∥PF，EH交AD于H，
过H作HO⊥AC，交AC于O，连接EO．
由（1）知EH⊥面ACD，HO⊥AC，
∴∠EOH为二面角E-AC-D的平面角…（8分）
$EH=\frac{1}{2}PF=\frac{{\sqrt{2}}}{4}a$．
$OH=AHsin∠HAO=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}a•\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}a$．
∴$tan∠EOH=\frac{EH}{OH}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴二面角E-AC-D的正切值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．