Question

已知函数y=a^1-x（a＞0且a≠1）的图象恒过点A．若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则

1

m

+

2

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用,直线与圆

分析：根据题意，求出点A的坐标，得出m+n=1且m＞0，n＞0，利用基本不等式求

1

m

+

2

n

的最小值即可．

解答： 解：函数y=a^1-x（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，
即1-x=0时，y=a⁰=1，∴A（1，1）；
又点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，
∴m+n-1=0，即m+n=1；
又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=

m+n

m

+

2(m+n)

n

=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

n m • 2m n

=3+2

2

，
当且仅当

n

m

=

2m

n

，即n=

2

m=

2

-1时“=”成立；
∴

1

m

+

2

n

的最小值为3+2

2

．
故答案为：3+2

2

．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．