Question

设函数f（x）=2^x+

1

2|x|

．
（1）若f（x）=

5

2

，求x的值；
（2）若关于x的方程f（2x）+af（x）+4=0在x∈（0，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）x＜0时，f（x）=2•2^x＜2，所以讲f（x）=

5

2

带入f（x）=2x+

1

2x

求x即可；
（2）带入f（x）=2x+

1

2x

，求出f（2x），从而得到22x+

1

22x

+a(2x+

1

2x

)+4=0，解出a=-[2x+

1

2x

+

2

2x+ 1 2x

]≤-2

2

，这便求出了a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

2x+ 1 2x x≥0 2•2x x＜0

；
∵x＜0时，2•2^x＜2；
∴只能2x+

1

2x

=

5

2

，解得x=1，或-1（舍去）；
即x的值为1；
（2）22x+

1

22x

+a(2x+

1

2x

)+4=0；
∴a=-

22x+ 1 22x +4

2x+ 1 2x

=-

(2x+ 1 2x )2+2

2x+ 1 2x

=-[2x+

1

2x

+

2

2x+ 1 2x

]≤-2

2

；
∴a的取值范围是（-∞，-2

2

]．

点评：考查含绝对值函数，分段函数，已知函数值求自变量值，基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0．