Question

【题目】已知函数.

（1）若，讨论函数的单调性；

（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：(1)求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，函数在上恒成立，当时，等价于；当时，等价于，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得结果.

（1）依题意， ，

若，则函数在上单调递增，在上单调递减；

若，则函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）因为，故，①

当时，显然①不成立；

当时，①化为： ；②

当时，①化为： ；③

当时，①化为： ；③

令，则，

当时， 时， ，

故在是增函数，在是减函数， ，

因此②不成立，要③成立，只要，

所求的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.