Question

已知函数f（x）=kx+b（k≠0），f（4）=10，又f（1），f（2），f（6）成等比数列．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设a_n=2^f（n）+2n，求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）根据等比中项的性质得出f²（2）=f（1）•f（6），然后代入函数f（x）求出2k+3b=0，再由f（4）=10得出4k+b=10，即可求出k、b的值从而得出函数f（x）的解析式．
（II）先由（1）得出2^3n-2+2n，然后采取分组求和法，再由等比数列和等差数列的前n项和公式得出结果．

解答：解：（I）由题意，知：f²（2）=f（1）•f（6），
即（2k+b）²=（k+b）（6k+b）…（2分）
即  2k²=-3kb…（3分）
∵k≠0，∴2k+3b=0…（4分）
又f（4）=10，所以  4k+b=10
所以，k=3，b=-2…（6分）
∴函数f（x）的解析式为f（x）=3x-2…（7分）
（II）由（1）知：a_n=2^3n-2+2n．
所以，数列{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+2⁴+2⁷+…+2^3n-2）+2（1+2+…+n）
=

2(1-8n)

1-8

+2•

(1+n)n

2

=

2

7

(8n-1)+n(n+1)…（14分）

点评：本题考查了等比数列的性质、等差数列和等比数列的前n项和公式，熟练掌握相关知识可以提高做题效率，属于中档题．