Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AC₁与平面A₁BD，CB₁D₁交于E，F两点．给出以下命题，其中真命题有

 

（写出所有正确命题的序号）
①点E，F为线段AC₁的两个三等分点；
②

ED1

=-

2

3

DC

+

1

3

AD

+

1

3

AA1

；
③设A₁D₁中点为M，CD的中点为N，则直线MN与面A₁DB有一个交点；
④E为△A₁BD的内心；
⑤设K为△B₁CD₁的外心，则

VK-BED

VA1-BFD

为定值．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间向量及应用

分析：对①运用平行四边形的对角线互相平分，以及三角形的重心的性质解决；对②运用空间向量的合成与分解；对③运用面面平行的判定与性质解决；对④可由①的分析可得；对⑤运用三棱锥的体积公式即得．

解答： 解：①连接A₁C₁，A₁C，AC，设AC₁与A₁C交于O点，连接A₁E并延长交AC于H点，由平行四边形对角线互相平分得OA=OC₁，又A₁H是面A₁DB与面A₁AC的交线，所以H为AC与BD的交点，即为中点，从而E为△A₁AC的重心，
A₁E=2EH，AE=2OE，又OE=OF，从而AE=EF，同理可得C₁F=2OF，所以点E，F为线段AC₁的两个三等分点，故①
正确；
②

ED1

=

A1D1

-

A1E

=

AD

-

2

3

A1H

=

AD

-

2

3

×

1

2

(

A1D

+

A1B

）=

AD

-

1

3

(

AD

-

AA1

)-

1

3

(

AB

-

AA1

)
=

2

3

AD

+

2

3

AA1

-

1

3

DC

，所以②不对；
③取DD₁的中点K，连接KM，KN，则KM∥A₁D，KN∥A₁B，由面面平行的判定定理得面KMN∥面A₁BD，再由面面平行的性质定理得MN∥面A₁BD，即MN与面A₁BD没有交点，故③错；
④由①的分析可得：E为△A₁BD的重心，故④错；
⑤A₁D∥B₁C，BD∥B₁D₁，由面面平行的判定定理可得：面A₁BD∥面B₁CD₁，所以K，F到面A₁BD的距离相等，设为h，VK-BED=

1

3

hS△BED，VA1-BFD=VF-A1BD=

1

3

hS△A1BD，又S△A1BD=3S△BED，
∴

VK-BED

VA1-BFD

=

1

3

，故⑤正确．
故答案为：①⑤

点评：本题主要考查平行六面体的性质，考查面面平行的判定和性质，空间向量基本定理，考查三棱锥的体积计算，是一道空间几何的综合题，本题属于中档题．