【题目】已知椭圆C: 的右焦点为F(1,0),且点(﹣1,
)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得 恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:由题意,c=1
∵点(﹣1, )在椭圆C上,∴根据椭圆的定义可得:2a=
,∴a=
∴b2=a2﹣c2=1,
∴椭圆C的标准方程为
(2)解:假设x轴上存在点Q(m,0),使得 恒成立
当直线l的斜率为0时,A( ,0),B(﹣
,0),则
=﹣
,∴
,∴m=
①
当直线l的斜率不存在时, ,
,则
=﹣
,
∴
∴m= 或m=
②
由①②可得m= .
下面证明m= 时,
恒成立
当直线l的斜率为0时,结论成立;
当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)
直线方程代入椭圆方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
∴ =(x1﹣
,y1)(x2﹣
,y2)=(ty1﹣
)(ty2﹣
)+y1y2=(t2+1)y1y2﹣
t(y1+y2)+
=
+
=﹣
综上,x轴上存在点Q( ,0),使得
恒成立
【解析】(1)利用椭圆的定义求出a的值,进而可求b的值,即可得到椭圆的标准方程;(2)先利用特殊位置,猜想点Q的坐标,再证明一般性也成立即可.
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【题目】光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求光线BC所在直线的斜率.
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【题目】若a,b是函数f(x)=x2﹣px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
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【题目】从椭圆上一点
向
轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦点
,
是椭圆的右顶点,
是椭圆的上顶点,且
.
(1)求该椭圆的方程;
(2)不过原点的直线与椭圆
交于
两点,已知
,直线
,
的斜率
,
成等比数列,记以
,
为直径的圆的面积分别为
,求证;
为定值,并求出定值.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,离心率
,
为椭圆
上的任意一点(不含长轴端点),且
面积的最大值为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆
交于不同的两点
,且线段
的中点不在圆
内,求
的取值范围.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=n2+2n,(n∈N*),求:
(1)数列{an}的通项公式an;
(2)若bn=an3n , 求数列{bn}的前n项和 Tn .
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【题目】已知函数,若同时满足以下条件:
①在D上单调递减或单调递增;
②存在区间,使
在
上的值域是
,那么称
为闭函数.
(1)求闭函数符合条件②的区间
;
(2)判断函数是不是闭函数?若是请找出区间
;若不是请说明理由;
(3)若是闭函数,求实数
的取值范围.
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