Question

7．在平面直角坐标系xOy中已知F₁，F₂分别为椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的左右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆E的离心率．
（1）求椭圆E的方程；
（2）点P为椭圆E上任意一点，求PA²+PO²的最小值；
（3）过点A的直线l交椭圆E于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF₁⊥BF₂，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由椭圆E经过点A（2，0）和（1，3e），列出方程组，求出a=2，$b=\sqrt{3}$，c=1，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设点P的坐标为（x，y），则PA²+PO²=x²+y²+（x-2）²+y²，由在椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上，得到PA²+PO²=$\frac{1}{2}{x^2}-4x+10$=$\frac{1}{2}{（x-4）^2}+2$，由此能求出PA²+PO²的最小值．
（3）设直线l的方程是y=k（x-2），联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\;\\ y=k（x-2）\;\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-12=0，求出点B坐标为$（\frac{{8{k^2}-6}}{{4{k^2}+3}}\;，\;\frac{-12k}{{4{k^2}+3}}）$，点M的坐标为（1，-k），由MF₁⊥BF₂，能求出直线l的斜率．

解答 解：（1）因为椭圆E经过点A（2，0）和（1，3e），
所以$\left\{\begin{array}{l}a=2\;\\ \frac{1}{4}+\frac{{9{c^2}}}{{4{b^2}}}=1\;\\{b^2}+{c^2}={a^2}\;\end{array}\right.$，解得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=1．
所以椭圆E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（2）设点P的坐标为（x，y），于是PA²+PO²=x²+y²+（x-2）²+y²．
P在椭圆E：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上，所以PA²+PO²=$\frac{1}{2}{x^2}-4x+10$=$\frac{1}{2}{（x-4）^2}+2$．
由于-2≤x≤2，所以x=2时，[PA²+PO²]_min=4，此时点P（2，0）．…（8分）
（3）由（1）知，F₁（-1，0），F₂（1，0）．
设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\;\\ y=k（x-2）\;\end{array}\right.$消去y可得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-12=0，
解得x=2，或$x=\frac{{8{k^2}-6}}{{4{k^2}+3}}$，所以点B坐标为$（\frac{{8{k^2}-6}}{{4{k^2}+3}}\;，\;\frac{-12k}{{4{k^2}+3}}）$．…（10分）
由OM=MA知，点M在OA的中垂线x=1上，又点M在直线l上，所以点M的坐标为（1，-k）．
从而$\overrightarrow{{F_1}M}=（2\;，\;-k）$，$\overrightarrow{{F_2}B}=（\frac{{4{k^2}-9}}{{4{k^2}+3}}\;，\;\frac{-12k}{{4{k^2}+3}}）$．…（12分）
因为MF₁⊥BF₂，
所以$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$．$\overrightarrow{{F_1}M}•\overrightarrow{{F_2}B}$=$\frac{{8{k^2}-18}}{{4{k^2}+3}}+\frac{{12{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$=$\frac{{20{k^2}-18}}{{4{k^2}+3}}=0$，
${k^2}=\frac{9}{10}$，$k=±\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．
故直线l的斜率是$±\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$．…（16分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两条线段的平方和的最小值的求法，考查直线的斜率的求法，考查椭圆、直线方程、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．