已知圆x2+y2=4经过$φ:\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x\\{y^'}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}y\end{array}\right.$变换后得曲线C．(1)求C的方程,(2)若P.Q为曲线C上两点.O为坐标原点.直线OP.OQ的斜率分别为k1.k2且${k 1}{k 2}=-\frac{3}{4}$.求直线PQ被圆O:x2+y2=3截� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．已知圆x²+y²=4经过$φ：\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x\\{y^'}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}y\end{array}\right.$变换后得曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若P，Q为曲线C上两点，O为坐标原点，直线OP，OQ的斜率分别为k₁，k₂且${k_1}{k_2}=-\frac{3}{4}$，求直线PQ被圆O：x²+y²=3截得弦长的最大值及此时直线PQ的方程．

分析（1）将$\left\{\begin{array}{l}x=x'\\ y=\frac{2}{{\sqrt{3}}}y'\end{array}\right.$代入x²+y²=4，能求出曲线C的方程；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ与圆O：x²+y²=3的交点为M，N，当直线PQ⊥x轴时，求得|MN|=2；当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m，\;\;\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，\;\;\end{array}\right.$得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出直线PQ被圆O：x²+y²=3截得弦长的最大值及对应用的直线PQ的方程．

解答解：（1）将$\left\{\begin{array}{l}x=x'\\ y=\frac{2}{{\sqrt{3}}}y'\end{array}\right.$代入x²+y²=4得${x'^2}+\frac{4}{3}{y'^2}=4$，
化简得$\frac{{{{x'}^2}}}{4}+\frac{{{{y'}^2}}}{3}=1$，
即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$为曲线C的方程．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线PQ与圆O：x²+y²=3的交点为M，N．
当直线PQ⊥x轴时，Q（x₁，-y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{k_1}\;•\;{k_2}=\frac{y_1}{x_1}\;•\;\frac{{-{y_1}}}{x_1}=-\frac{3}{4}，\;\;\\ \frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\sqrt{2}，\;\;\\{y_1}=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=-\sqrt{2}，\;\;\\{y_1}=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\;\;\end{array}\right.$
此时可求得$|MN|=2\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}-{{（\sqrt{2}）}^2}}=2$．
当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m，\;\;\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，\;\;\end{array}\right.$消y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=48（4k²-m²+3），${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$，
所以${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}={k^2}\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}+km\frac{-8km}{{4{k^2}+3}}+{m^2}$
=$\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，
由${k_1}\;•\;{k_2}=\frac{y_1}{x_1}\;•\;\frac{y_2}{x_2}=-\frac{3}{4}$得$\frac{{\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{4{k^2}+3}}}}{{\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}}}=\frac{{3{m^2}-12{k^2}}}{{4{m^2}-12}}=-\frac{3}{4}$，${m^2}=2{k^2}+\frac{3}{2}$，
此时$△=48（{2{k^2}+\frac{3}{2}}）＞0$．
圆O：x²+y²=3的圆心到直线PQ的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$|MN|=2\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}-{d^2}}$，
得$|MN{|^2}=4（{3-\frac{m^2}{{{k^2}+1}}}）=4（{3-\frac{{2{k^2}+\frac{3}{2}}}{{{k^2}+1}}}）=4[{3-\frac{{2（{k^2}+1）-\frac{1}{2}}}{{{k^2}+1}}}]=4+\frac{2}{{{k^2}+1}}$，
所以当$k=0，\;\;m=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$时，|MN|最大，最大值为$\sqrt{6}$，
综上，直线PQ被圆O：x²+y²=3截得弦长的最大值为$\sqrt{6}$，
此时，直线PQ的方程为$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

点评本题考查曲线方程的求法，考查弦长的最大值及对应的直线方程的求法，考查圆锥曲线、直线方程、韦达定理、根的判别式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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