Question

7．已知x，y是三角形的两边，α，β是三角形的两内角，且x，y，α，β之间满足下列关系$\left\{\begin{array}{l}{xsinα+ycosβ=0}\\{xcosα-ysinβ=0}\end{array}\right.$，则α的值为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{xsinα+ycosβ=0}\\{xcosα-ysinβ=0}\end{array}\right.$，移向平方相加可得x=y，两式平方相加可得sin（α-β）=-1，可得α-β=-$\frac{π}{2}$，再分类讨论，即可得出结论．

解答 解：∵$\left\{\begin{array}{l}{xsinα+ycosβ=0}\\{xcosα-ysinβ=0}\end{array}\right.$，
∴移向平方相加可得x=y，
两式平方相加可得sin（α-β）=-1
∴α-β=-$\frac{π}{2}$
设第三个角为γ，有以下三种情况：
i）α=γ，此时由于α+β+γ=π且α-β=-$\frac{π}{2}$
∴β=$\frac{2π}{3}$，α=$\frac{π}{6}$；
ii）β=γ，此时由于α+β+γ=π且α-β=-$\frac{π}{2}$
∴β=$\frac{π}{2}$，α=0，因此这种情况不可能；
iii）α=β，此时由于α-β=-$\frac{π}{2}$，因此这种情况是不可能的．
综上有，α=$\frac{π}{6}$，β=$\frac{2π}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．