Question

【题目】如图①，在五边形中，，，，，将沿折起到的位置，得到如图②所示的四棱锥，为线段的中点，且平面.

（1）求证：平面.

（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，又为的中点，得到四边形为平行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果.

（2），可得为直线与所成的角，可得，，设，则，，取的中点O，连接PO，过O作AB的平行线，可建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，设为平面PBD的法向量，则，利用，即可得出.

（1）证明：取的中点，连接，.

又为的中点，所以，.

又，，所以，.

则四边形为平行四边形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）解：因为平面，，

所以平面，所以，.

由，即及为的中点，可得为等边三角形，所以.

又，所以，即.

因为平面，平面，，所以平面.

又平面，所以平面平面.

因为，所以即为直线与所成的角，

所以，所以.

设，则，.

取的中点，连接，过作交于点，则，，两两垂直.

以为坐标原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

则，，，，所以.

所以，，.

设平面的法向量为，

则，

令，则.

因为.

所以直线与平面所成角的正弦值为.