Question

（本小题满分12分）

如图，四边形ACDF为正方形，平面平面BCDE,平面平面ABC,BC=2DE,DE//BC， M为AB的中点.

（I）证明：；

（II）证明：EM//平面ACDF.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先根据面面垂直的性质定理，可得AC⊥平面BCDE，进而得到AC⊥BC，同理可得DC⊥平面ABC，即可得到DC⊥BC，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结论.

（Ⅱ）（法一）取BC的中点为N，连结MN，EN，由中位线定理，可得MN∥AC，又DE∥BC，且DE =BC= CN，可得四边形CDEN为平行四边形，即可得到EN∥DC，平面EMN∥平面ACD， 利用面面平行的性质定理即可证明结论.（法二）取AC的中点P，连结PM，PD 在△ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，∴PM∥BC，且PM=BC，又∵DE∥BC,DE=BC，∴，根据线面平行的判定定理即可证明结论.

试题解析：证明：（Ⅰ）∵平面ACDF⊥平面BCDE，平面ACDF∩平面BCDE= DC，

又正方形ACDF中，AC⊥DC，∴AC⊥平面BCDE，

∴AC⊥BC.

又∵平面ACDF⊥平面ABC，平面ACDF∩平面ABC =AC，DC⊥AC，

∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC.

又∵AC∩DC =C，∴BC⊥平面ACDF，

而AD面ACDF，

∴BC⊥AD.

（Ⅱ）（法一）如图，取BC的中点为N，连结MN，EN．

在△ABC中，M为AB的中点，N为BC的中点，

∴MN∥AC，

又DE∥BC，且DE = 1BC= CN，

∴四边形CDEN为平行四边形，

∴EN∥DC，

∴平面EMN∥平面ACD，

又∵EM平面EMN，

∴EM//面ACDF．

（法二）如图，取AC的中点P，连结PM，PD

在△ABC中，P为AC的中点，M为AB的中点，

∴PM∥BC，且PM=BC，

又∵DE∥BC,DE=BC，

∴ ．

故四边形DEMP为平行四边形，∴ME∥DP，

又∵DP面ACDF，∴EM∥平面ACDF.

考点：1.面面垂直的判定定理和性质定理；2.线面平行的判定定理；3.面面平行的性质定理.