Question

5．已知$f（x）=（\sqrt{3}sinωx+cosωx）cosωx-\frac{1}{2}$，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（-π，π）时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化简函数，利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求出g（x）=sin（$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{3}$），即可求出当x∈（-π，π）时，函数g（x）的值域．

解答 解：（1）$f（x）=（\sqrt{3}sinωx+cosωx）cosωx-\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cosωx=sin（2ωx+$\frac{1}{6}π$）…（2分）
最小正周期为4π，∴$\frac{2π}{2ω}$=4π，∴ω=$\frac{1}{4}$，
∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{6}$），
由$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$…（4分）
得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z…（6分）
（2）由（1）知f（x）=sin（2ωx+$\frac{1}{6}π$），
将函数y=f（x）图象上各点向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=sin（$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{3}$）…（8分）
∵$-π＜x＜π∴-\frac{π}{6}＜\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，∴$-\frac{1}{2}＜sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）≤1$…10分
∴函数g（x）的值域为$（-\frac{1}{2}，1]$…（12分）

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，考查图象变换，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．