Question

10．《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

	喜欢《最强大脑》	不喜欢《最强大脑》	合计
男生		15
女生	15
合计

已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4
（ I）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；
（ II）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列及数学期望．
下面的临界值表仅参考：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知完成列联表，求出K²≈14.063＞10.828，由此有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关．
（II）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由题意知列联表为：

	喜欢《最强大脑》	不喜欢《最强大脑》	合计
男生	45	15	60
女生	15	25	40
合计	60	40	100

K²=$\frac{100（45×25-15×15）^{2}}{60×40×60×40}$≈14.063＞10.828，
∴有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关．
（II）X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

EX=$0×\frac{1}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．