Question

3．已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，前n项和为S_n，若a₂+3，a₃+3，a₄+5这三项成等比数列，且满足a₁+a₅=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）另b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$（n∈N^*），是否存在非零常数c，使数列{b_n}也为等差数列？若存在，求出c的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差中项可知a₁+a₅=2a₃=18即a₃=9，通过a₂+3、a₃+3、a₄+5这三项成等比数列计算可知公差，利用a_n=a₃+（n-3）d计算即得结论；
（2）通过a_n=4n-3可知S_n=n（2n-1），进而b_n=$\frac{n（2n-1）}{n+c}$，依题意只需c=$-\frac{1}{2}$即可．

解答 解：（1）∵a₁+a₅=2a₁+4d=2a₃=18，
∴a₃=9，
∵a₂+3，a₃+3，a₄+5这三项成等比数列，
∴$（{a}_{3}+3）^{2}$=（a₂+3）（a₄+5），
∴（9+3）²=（9-d+3）（9+d+5），
整理得：d²+2d-24=0，
解得：d=4或d=-6（舍），
∴a_n=a₃+（n-3）d=4n-3；
（2）结论：存在c=$-\frac{1}{2}$使数列{b_n}是公差为2的等差数列．
理由如下：
∵a_n=4n-3，
∴S_n=$\frac{n（1+4n-3）}{2}$=n（2n-1），
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$=$\frac{n（2n-1）}{n+c}$（n∈N^*），
∵c≠0，∴当c=$-\frac{1}{2}$时b_n=2n，且b_n+1-b_n=2（n+1）-2n=2，
即此时符合等差数列的定义，
∴存在c=$-\frac{1}{2}$使数列{b_n}是公差为2的等差数列．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．