Question

3．设a，b是正奇数，数列{c_n}（n∈N^*）定义如下：c₁=a，c₂=b，对任意n≥3，c_n是c_n-1+c_n-2的最大奇约数．数列{c_n}中的所有项构成集合A．
（Ⅰ）若a=9，b=15，写出集合A；
（Ⅱ）对k≥1，令d_k=max{c_2k，c_2k-1}（max{p，q}表示p，q中的较大值），求证：d_k+1≤d_k；
（Ⅲ）证明集合A是有限集，并写出集合A中的最小数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用列举法写出数列{c_n}，易得集合A；
（Ⅱ）由题设，对n≥3，c_n-2，c_n-1都是奇数，所以c_n-1+c_n-2是偶数．从而c_n-1+c_n-2的最大奇约数${c_n}≤\frac{{{c_{n-1}}+{c_{n-2}}}}{2}$，结合不等式的性质进行解答；
（Ⅲ）有限集是指元素的个数是有限个的集合，从而确定答案．

解答 解：（Ⅰ）数列{c_n}为：9，15，3，9，3，3，3，…．
故集合A={9，15，3}．                          
（Ⅱ）证明：由题设，对n≥3，c_n-2，c_n-1都是奇数，所以c_n-1+c_n-2是偶数．
从而c_n-1+c_n-2的最大奇约数${c_n}≤\frac{{{c_{n-1}}+{c_{n-2}}}}{2}$，
所以c_n≤max{c_n-1，c_n-2}，当且仅当c_n-1=c_n-2时等号成立．
所以，对k≥1有c_2k+1≤max{c_2k，c_2k-1}=d_k，
且c_2k+2≤max{c_2k+1，c_2k}≤max{d_k，d_k}=d_k．
所以d_k+1=max{c_2k+2，c_2k+1}≤d_k，当且仅当c_2k=c_2k-1时等号成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n≥3时，有c_n≤max{c_n-1，c_n-2}．
所以对n≥3，有c_n≤max{c₁，c₂}=max{a，b}．
又c_n是正奇数，且不超过max{a，b}的正奇数是有限的，
所以数列{c_n}中的不同项是有限的．
所以集合A是有限集．
集合A中的最小数是a，b的最大公约数．

点评 本题考查了集合的表示方法，难度较大．