Question

过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的弦AB，过A，B两点分别作其准线的垂线AM，BN，垂足分别为M，N，AB倾斜角为α，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：
①x₁x₂=

p2

4

；y₁y₂=-p²．
②|AF|=

p

1-cosα

，|BF|=

p

1+cosα

③

|AF|+|BF|

|AF|•|BF|

=

2

p

，
④|AB|=x₁+x₂+p=

2p

sin2α

，
⑤

FM

•

FN

=0
其中结论正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,抛物线的标准方程

专题：阅读型,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①设AB：x=

p

2

或y=k（x-

p

2

），联立抛物线方程，由韦达定理，即可得到；
②由抛物线的定义，在直角三角形ACF中，运用余弦函数的定义，即可得到AF的长，同理可得BF的长；
③可由①推得；④由抛物线的定义和②可得；⑤由向量的数量积坐标表示结合①，即可得到．

解答： 解：①设AB：x=

p

2

或y=k（x-

p

2

），若x=

p

2

，
则y²=p²，y₁y₂=-p²，x₁x₂=

p2

4

，
由y=k（x-

p

2

）和抛物线方程，得到k²x²-（kp+2p）x+

k2p2

4

=0，
则x₁x₂=

p2

4

，y₁y₂=-

4p2• p2 4

=-p²．故①对；
②由抛物线的定义可得AF=AM=CK=p+CF=p+AFcosα，
则|AF|=

P

1-cosα

，同理可得|BF|=

p

1+cosα

，故②正确；
③

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1-cosα

p

+

1+cosα

p

=

2

p

，故③对；
④由抛物线的定义可得，|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p，再由②得，

P

1-cosα

+

p

1+cosα

=

2p

sin2α

，故④对；
⑤

FM

•

FN

=（y₁，-p）•（y₂，-p）=y₁y₂+p²=-p²+p²=0，故⑤对．
故答案为：①②③④⑤．

点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理求解，考查平面几何知识以及平面向量的数量积的性质，属于中档题．