Question

8．已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（x）的图象与g（x）的图象的一个公共点在y轴上，且在该店处两条曲线的切线相同，求b和c的值；
（2）若a=c=1，b=0，试着比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；
（3）若函数t（x）与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，且直线y=g′（x）是函数t（x）图象的切线，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）、g（x）的导数，由题意可得f（0）=g（0），且f′（0）g′（0）=-1，即可求得b，c；
（2）对x讨论，当x＜0，x=0，x＞0，运用指数函数的单调性，同时结合构造函数求得导数和单调区间、极值和最值，求得值域即可比较；
（3）求出t（x）的解析式，设出切点，由切线方程可得a，b，令φ（m）=a+b+$\frac{1}{2m}$+lnm-1，求出导数，和单调区间，可得极小值，也为最小值，即可得到a+b的最小值．

解答 （1）解：由题意可得，f（0）=1，
f'（x）=e^x，f'（0）=1，
g（0）=c，g'（x）=2ax+b，g'（0）=b，
依题意：f（0）=g（0），且f′（0）g′（0）=-1，
解得b=-1，c=1；                
（2）解：a=c=1，b=0时，g（x）=x²+1，
①x=0时，f（0）=1，g（0）=1，即f（x）=g（x）；
②x＜0时，f（x）＜1，g（x）＞1，即f（x）＜g（x）；
③x＞0时，令h（x）=f（x）-g（x）=e^x-x²-1，
则h'（x）=e^x-2x．
设k（x）=h'（x）=e^x-2x，则k'（x）=e^x-2，
当x＜ln2时，k'（x）＜0，k（x）单调递减；
当x＞ln2时，k'（x）＞0，k（x）单调递增．
所以当x=ln2时，k（x）取得极小值，且极小值为k（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，
即k（x）=h'（x）=e^x-2x＞0恒成立，故h（x）在R上单调递增，又h（0）=0，
因此，当x＞0时，h（x）＞h（0）＞0，即f（x）＞g（x）．
综上，当x＜0时，f（x）＜g（x）；
当x=0时，f（x）=g（x）；当x＞0时，f（x）＞g（x）．    
（3）由已知得t（x）=lnx，设切点为（m，lnm），
则切线的方程为y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m），即y=$\frac{1}{m}$x+lnm-1，
y=g′（x）=2ax+b，由题意可得a=$\frac{1}{2m}$，b=lnm-1，
令φ（m）=a+b+$\frac{1}{2m}$+lnm-1，
φ′（m）=-$\frac{1}{2{m}^{2}}$+$\frac{1}{m}$=$\frac{2m-1}{2{m}^{2}}$，m＞0，
当m∈（0，$\frac{1}{2}$），φ′（m）＜0，φ（m）在（0，$\frac{1}{2}$）递减；
当m∈（$\frac{1}{2}$，+∞），φ′（m）＞0，φ（m）在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增．
则a+b=φ（m）≥φ（$\frac{1}{2}$）=1-ln2-1=-ln2，
故a+b的最小值为-ln2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用和不等式恒成立问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．