Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）长轴长与短轴长之差是2

2

-2，且右焦点F到此椭圆一个短轴端点的距离为

2

，点C（m，0）是线段OF上的一个动点（O为坐标原点）．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（

CA

+

CB

）⊥

BA

，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）由长轴长与短轴长之差为2

2

-2，得2a-2b=2

2

-2，由右焦点F到此椭圆一个短轴端点的距离为

2

，可得a值；
（Ⅱ）先由（1）求得m的范围，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（

CA

+

CB

）⊥

BA

，得（

CA

+

CB

）•

BA

=0①，易知AB的方向向量为（1，k），联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉y得x的二次方程，由韦达定理、向量运算可用k表示

CA

+

CB

，代入①式得k的方程，有解则存在，否则即不存在；

解答：解：（Ⅰ）由题意可知a-b=

2

-1，又

c2+b2

=

2

，a²=b²+c²，
解得a=

2

，b=c=1，
所以椭圆的方程为：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），代入

x2

2

+y2=1，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

①，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

2k2+1

，
所以

CA

+

CB

=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（

4k2

2k2+1

-2m，

-2k

2k2+1

），
因为（

CA

+

CB

）⊥

BA

，而AB的方向向量为（1，k），
所以

4k2

2k2+1

-2m+

-2k

2k2+1

×k=0⇒（1-2m）k²=m，
所以当0≤m＜

1

2

时，k=±

m 1-2m

，即存在这样的直线l；
当

1

2

≤k≤1时，不存在这样的直线l．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生的探究能力，考查学生对问题的分析解决能力，存在性问题常假设存在然后由此出发进行推理．