Question

7．已知数列{a_n}的首项a₁=4，当n≥2时，a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{2-{a_n}}}（n∈N{\;}^*）$
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=4^b_n•（na_n-6），如果对任意n∈N^*，都有c_n+$\frac{1}{2}$t≤2t²，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过作差可知b_n-b_n-1=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{4-2{a}_{n}-2{a}_{n-1}+{a}_{n}{a}_{n-1}}$，结合a_n-1a_n-4a_n-1+4=0可知b_n-b_n-1=-$\frac{1}{2}$，进而利用数列{b_n}是等差数列即可求出通项公式；
（2）通过（1）及b_n=b_n=$\frac{1}{{2-{a_n}}}（n∈N{\;}^*）$可知a_n=$\frac{2}{n}$+2，进而可知c_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$（2n-4），结合单调性可知-1≤c_n≤$\frac{1}{4}$，将y=c_n+$\frac{1}{2}$t-2t²看作是关于c_n的一次函数，结合其单调递增可知当c_n=$\frac{1}{4}$时y≤0即可，进而问题转化为解不等式$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$t-2t²≤0，计算即得结论．

解答 （1）证明：当n≥2时，b_n-b_n-1=$\frac{1}{2-{a}_{n}}$-$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}-{a}_{n-1}}{4-2{a}_{n}-2{a}_{n-1}+{a}_{n}{a}_{n-1}}$，
由于a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，
所以b_n-b_n-1=-$\frac{1}{2}$，即数列{b_n}是等差数列，
又因为b₁=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$，
所以b_n=$-\frac{1}{2}$+（n-1）（$-\frac{1}{2}$）=-$\frac{n}{2}$；
（2）由（1）及b_n=b_n=$\frac{1}{{2-{a_n}}}（n∈N{\;}^*）$可知a_n=$\frac{2}{n}$+2，
所以c_n=4^b_n•（na_n-6）=$\frac{1}{{2}^{n}}$（2n-4），
由单调性可知：-1≤c_n≤$\frac{1}{4}$，
令y=c_n+$\frac{1}{2}$t-2t²，则y是关于c_n的一次函数，且单调递增，
所以当c_n=$\frac{1}{4}$时y≤0即可，
所以$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$t-2t²≤0，解得：t≤-$\frac{1}{4}$或t≥$\frac{1}{2}$，
故实数t的取值范围是：（-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查求数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．