Question

18．已知圆C：（x-m）²+（y+m-3）²=r²（m∈R，r＞0）．
（1）若圆C在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，求r的取值范围；
（2）当r=2时，设EF、GH为圆C的两条互相垂直的弦，垂足为M（m+1，$\sqrt{2}$-m+3），求四边形EGFH面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程求出圆心坐标，结合圆C在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，可得关于m的不等式组，得到$\left\{\begin{array}{l}{3m-6≤0}\\{3m-1≥0}\end{array}\right.$．当圆与直线x-2y=0相切时，${r}_{1}=\frac{|m-2（-m+3）|}{\sqrt{5}}=\frac{-3m+6}{\sqrt{5}}$，当圆与直线x-2y+2=0相切时，${r}_{2}=\frac{|2m-（-m+3）+2|}{\sqrt{5}}=\frac{3m-1}{\sqrt{5}}$．则由r₁=r₂，得-3m+6=3m-1，求得m值，得到圆心坐标，进一步求出半径r的取值范围；
（2）|CM|＜2可得点M在圆C内，设圆心C到直线EF、GH的距离分别为d₁、d₂，则${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}=|CM{|}^{2}=3$．求出|EF|=$2\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{1}}^{2}}=2\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}$，|GH|=$2\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{2}}^{2}}=2\sqrt{4-{{d}_{2}}^{2}}$．代入四边形面积公式，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）圆C：（x-m）²+（y+m-3）²=r²的圆心C（m，-m+3），
又圆C在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤0}\\{2x-y+2≥0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2（-m+3）≤0}\\{2m-（-m+3）+2≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3m-6≤0}\\{3m-1≥0}\end{array}\right.$．
当圆与直线x-2y=0相切时，${r}_{1}=\frac{|m-2（-m+3）|}{\sqrt{5}}=\frac{-3m+6}{\sqrt{5}}$，
当圆与直线x-2y+2=0相切时，${r}_{2}=\frac{|2m-（-m+3）+2|}{\sqrt{5}}=\frac{3m-1}{\sqrt{5}}$．
依题意，要使圆C位于区域内且半径最大，当且仅当圆与两直线都相切，即r₁=r₂，
∴-3m+6=3m-1，解得m=$\frac{7}{6}$，
此时圆心C（$\frac{7}{6}，\frac{11}{6}$），半径r=$\frac{|3m-6|}{\sqrt{5}}=\frac{|3×\frac{7}{6}-6|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴半径r的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]；
（2）∵|CM|=$\sqrt{（m+1-m）^{2}+（\sqrt{2}-m+3+m-3）^{2}}=\sqrt{3}＜2$．
∴点M在圆C内．
设圆心C到直线EF、GH的距离分别为d₁、d₂，则${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}=|CM{|}^{2}=3$．
|EF|=$2\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{1}}^{2}}=2\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}$，|GH|=$2\sqrt{{r}^{2}-{{d}_{2}}^{2}}=2\sqrt{4-{{d}_{2}}^{2}}$．
∴${S}_{EGFH}=\frac{1}{2}|EF|•|GH|=2\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}•\sqrt{4-{{d}_{2}}^{2}}$$≤4-{{d}_{1}}^{2}+4-{{d}_{2}}^{2}=8-3=5$．
当且仅当$4-{{d}_{1}}^{2}=4-{{d}_{2}}^{2}$，即${d}_{1}={d}_{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$时，等号成立．
∴四边形EGFH面积的最大值为5．

点评 本题考查圆的标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．