Question

6．已知函数f（x）=lg（x²+1），g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-m，若对任意x₁∈[0，3]，存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≤g（x₂），则实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 要使命题成立需满足f（x₁）_max≤g（x₂）_max，利用函数的单调性，可求最值，即可得到实数m的取值范围．

解答 解：要使命题成立需满足f（x₁）_max≤g（x₂）_max，
函数f（x）=lg（x²+1）在[0，3]上是增函数，
所以f（x₁）_max=f（3）=1，
函数g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-m在[1，2]上是减函数，
所以g（x₂）_max=g（1）=$\frac{1}{2}$-m，
∴1≤$\frac{1}{2}$-m，即m≤-$\frac{1}{2}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查函数最值的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，要使命题成立需满足f（x₁）_max≤g（x₂）_max，是解题的关键，属于中档题．