Question

3．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x+$\frac{3}{2}$．
（1）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）已知ω＞0，函数g（x）=f（$\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{12}$），若函数g（x）在区间[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．
（2）求出函数g（x）的解析式，结合函数g（x）的单调性建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+2=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
则当2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，即x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]时，函数单调递增，
当2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，即x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，函数单调递减．
（2）g（x）=f（$\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{12}$）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+2，
当x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，ωx+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，$\frac{ωπ}{6}$+$\frac{π}{3}$]，
∵函数g（x）在区间[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上是增函数，且ω＞0，
则[-$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，$\frac{ωπ}{6}$+$\frac{π}{3}$]⊆[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2ωπ}{3}+\frac{π}{3}≥-\frac{π}{2}+2kπ}\\{\frac{ωπ}{6}+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{ω≤\frac{5}{4}-3k}\\{ω≤1+12k}\end{array}\right.$，
∵ω＞0，∴$-\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{5}{12}$，k∈Z，
∴k=0，∴ω≤1，
则ω的最大值为1．

点评 本题主要考查三角函数单调性的应用，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．考查学生的运算能力．