Question

5．如果A={x|ax²-ax+1＜0}=∅，则实数a的取值范围为0≤a≤4．若A={x|ax²-ax+1＞0}=R，则实数a的取值范围为0≤a＜4．

Answer 1

分析 当a=0时，不等式即1＜0，满足条件．当a≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，求得实数a的取值范围．再把实数a的取值范围取并集，即得所求；
当a=0时，不等式即1＞0，满足条件．当a≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，求得实数a的取值范围．再把实数a的取值范围取并集，即得所求．

解答 解：∵A={x|ax²-ax+1＜0}=∅，
∴不等式ax²-ax+1＜0的解集是空集，
当a=0，原不等式为1＜0，无解，∴a=0成立．
当a≠0时，要使ax²-ax+1＜0的解集是空集，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得0＜a≤4．
综上实数a的取值范围是0≤a≤4．
当a=0时，不等式即1＞0，满足条件．
当a≠0时，要使不等式ax²-ax+1＞0对一切x∈R恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜4．
综上实数a的取值范围是0≤a＜4．

点评 本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．